HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH. NĂM HỌC 2008-2009. MÔN THI: Toán (Thời gian làm bài 150 phút)

Câu
Ý
Nội dung
Điểm

1
(2,5đ)
1.1
(0,75đ)
Giải, xác định đúng điều kiện:



= 0



(Thỏa mãn)
0,25

0,25



0,25



1.2
(1.0đ)
Điều kiện :

Từ (2)
(x2 – 4)(x2 + 4)
kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2
Thay vào (4): y2 – 2y + 1
; Đúng với mọi giá trị của y.
Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5
Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)



0.5đ

0,5



1.3
(0,75đ)
Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0

x2 – 2y – 5 = 0
x2 = 2y2 + 5
x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k
)
4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5
2y2 = 4k2 + 4k – 4

y2 = 2(k2 + k – 1)
y chẵn
Đặt y = 2n; (n
)
4n2 = 2(k2 + k – 1)
2n2 + 1 = k(k + 1) (*)
Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp)
(*) vô nghiệm
pt đã cho vô nghiệm
0,25

0,25

0,25


2
(2,)
2.1
(1,0đ)
Để
và
là hai số chính phương

và


Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:

Từ
suy ra

Thay vào
, ta được
.
Vậy với
thì
và
là hai số chính phương





0,5


0,5




2.2
(1,0đ)
Gọi số cần tìm là :
(a, b là số nguyên và a khác 0)
Theo giả thiết:
là số nguyên, nên
và b là các số chính phương, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9
Ta có:


(vì
)



0,5






Do đó
phải là số chẵn:
, nên

Nếu
(thỏa điều kiện bài toán)
Nếu
(thỏa điều kiện bài toán)
Nếu
(thỏa điều kiện bài toán)
0, 5



3
3,)
3.1
(1,0)


Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng.
Suy ra:

0.25







0.5

0.25



3.2
(1,25)
Để MNOP là hình vuông thì đường chéo

Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OADC, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M.
Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có
, nên Tam giác ONM vuông cân tại N. Tương tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại P. Do đó MNOP là hình vuông.
Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì

0,25

0,25


0,50

0,25


3.3
(1,0)
 + Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên M, N, O, P cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Tâm là trung điểm H của OM. Suy ra tam giác ba điểm M, N, P thuộc đường tròn đường kính OM, tâm là H.
+ Kẻ
, thì E là trung điểm của AB (cố định). Kẻ
thì HL // OE, nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra:
(không đổi).
+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không đổi, nên H chạy trên đường thẳng (d`) // (d) và (d`) đi qua trung điểm của đoạn OE cố