PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 2
NĂM HỌC 2010-2011

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút(Không kể thời gian phát đề)

Câu 1:(5,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: A = n4 - 4n3 - 4n2 +16n ( 384 với mọi n là số tự nhiên chẵn, n( 4.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x2 + 5y2 = 145

Câu 2:(5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x+ 14 = 2  + 7 
b) Cho hệ phương trình: 

b1) Giải hệ phương trình với a =  .
b2) Tìm điều kiện của a để hệ có nghiệm thoả mãn x< 0 và y< 0.

Câu 3:(3,0 điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi không lớn hơn 1.
Chứng minh rằng:  +  +  ( 9

Câu 4: (5,0 điểm)
Cho góc vuông  . Trên Ax, Ay lấy lần lượt các điểm B và C sao cho AB = AC= a.
M là điểm nằm giữa B và C. Vẽ (I) đi qua M tiếp xúc với Ax tại B, vẽ (K) đi qua M tiếp xúc với Ay tại C. (I) và (K) cắt nhau tại điểm N( N khác M).
a) Chứng minh MB2 + MC2 = 2KI2.
b) Chứng minh đường thẳng IN tiếp xúc với (K).
c) Với vị trí nào của M thì độ dài đoạn thẳng IK ngắn nhất?

Câu 5: (2,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có diện tích là S, các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O ở trong tứ giác. Gọi diện tích của tam giác AOB, COD lần lượt là S và S .
Chứng minh rằng:  +  (  .

-- Hết --











PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSGG LỚP 9 VÒNG 2
NĂM HỌC 2010-2011

Môn: TOÁN
Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang


Câu
Nội dung
Điểm

Câu 1
 a) Chứng minh rằng: A = n4 - 4n3 - 4n2 +16n ( 384 với mọi n là số tự nhiên chẵn, n( 4.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x2 + 5y2 = 145 (1)

5,0

a)
Đặt n = 2k, k( N, k( 2. Ta có:
A = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = 16k(k3- 2k2- k+ 2)
= 16k(k-2)(k-1)(k+1)
Với k( 2 nên k-2, k-1, k, k+1 là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trrong 4 số đó có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4
( k(k-2)(k-1)(k+1) ( 8
Mà k(k-2)(k-1) ( 3 và (3, 8) = 1 nên k(k-2)(k-1)(k+1) ( 24
16k(k-2)(k-1)(k+1) ( 16.24 hay A ( 384.


0,5

0,5


0,5
0,5
0,5

b)
Từ (1) ta có: 4x2 = 145 - 5y2 = 5(29- y2) (5
Mà (4, 5) = 1 (x2 (5 ( x ( 5
Đặt x= 5t (t( Z). Thay vào (1) ta có: 100t2 + 5y2 = 145
( 100t2 ( 145 ( t2 ( 1 ( t2 = 0 hoặc t2 = 1
Với t2 = 0 thì 5y2 = 145 ( y2 = 29. PT này không có nghiệm nguyên.
Với t2 = 1 ta được x = ( 5 và y = ( 3.
Vậy PT (1) có 4 nghiệm nguyên là: (5;3), (5;-3), (-5;3), (-5;-3).


0,5
0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2
 a) Giải phương trình: x+ 14 = 2  + 7  (2)
b) Cho hệ phương trình:  (3)
b1) Giải hệ phương trình với a