TRƯỜNG THCS NGHĨA HÀNH
NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Môn: TOÁN 9 (Thời gian: 120 phút)


Câu 1: (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A =


b) Chứng minh rằng: B = x4 + 4x3y + 2x2 + 4x2y2 + 4xy + 1 (với x, y € Z) là một số chính phương.
Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình
a)


b)


Câu 3: (5 điểm)
a) Cho a, b, c dương và a + b + c = 1 Chứng minh rằng:


b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức P =


Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 8 cm, AC = 14 cm.
a) Tính số đo góc B.
b) Đường phân giác góc C cắt AB tại D. Tính AD
c) Từ A vẽ đường vuông góc với CD, cắt CD tại E và cắt BC tại F. Tính AF.

Câu 5: ( 2 điểm) Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Gọi AH, BI, CK là các đường cao của tam giác. Cgứng minh rằng:



(Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên:………………………..……...............SDB:….........




ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 9
Câu
Nội dung
Điểm

1
a) A =

Biến đổi:


Vậy A = 1




0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,5

0,25


b) B = x4 + 4x3y + 2x2 + 4x2y2 + 4xy + 1
= (x2 + 2x2(2xy + 1) + ( 2xy + 1)2
= ( x2 + 2xy + 1)2
Vì x,y € Z => x2 + 2xy + 1 € Z
Vậy B là một số chính phương.

0,75
0,5
0,5
0,25

2
a)
(1)
ĐK: x > 1 Phương trình (1)

Vậy phương trình vô nghiệm


0,5
0,5
0,25
0,5
0,25


b)




Vậy pt có một nghiệm x = -1




0,5
0,25
0,25
0,5


0,5

3
a) Ta có:

1,0

0,5
0,5


b) P =
(*)
Vì x2 + 1 > 0 với mọi x
Do đó pt (1) ( (x2 + 1)P = 2x2 + 2x + 2
( (P – 2)x2 – 2x + (P – 2) = 0
Khi P = 2 thì x = 0
Khi P ≠ 2 xét Δ’ = 1 – (P – 2)2 ≥ 0
( (P – 2)2 ≤ 1
( 1 ≤ P ≤ 3
Vậy Min P = 1 khi x = -1.
Max P = 3 khi x = 1


0,25
0,5
0,5
0,25

0,5
0,25
0,25
0,25

4
Vẽ hình đúng




a) Áp dụng định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn ta có:
tg B =

=> góc B = 600
0,5





1,0



b) Từ câu a) => góc C = 300 do đó góc ACD = 150
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AD = AC.tg ACD = 14. 0,265 = 3,72 cm
0,5

1,0


c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AE = AC. Sin ACE = 14 . 0,257 = 3,598 cm
Tam giác ACF có CE vừa là đường cao vừa là đường phân giác => Tam giác ACF cân tại C
=> AF = 2.AE = 2. 3,598 = 7,916 cm

1,0

1,0

5
Vẽ hình đúng





Ta có: SHIK = SABC – SAKI – SBKH – SCHI


Trong các tam giác vuông AKC và AIB ta có:


Vậy:

0,5





0,25
0,